靖雅中学高中立体几何一轮复习课程

2020年高中数学高考复习空间几何的表面积和体积

1空间几何的结构特征

多面体

(1)棱柱的侧边全部平行且相等，上下底均为全等的多边形。

(2) 金字塔的底是任意多边形，边是有公共顶点的三角形。

(3)由平行于底面的平面截棱锥可得到棱柱，其上下底面为相似多边形。

革命体

(1) 将长方形绕其一边所在的直线旋转，可得到圆柱体。

(2) 将直角三角形绕有右侧的直线旋转可得到圆锥体。

(3) 可以用直角梯形绕垂直于底腰的直线旋转得到截锥，也可以用平行于底的平面截锥得到。

(4)将半圆或圆绕以其直径的直线旋转即可得到球。

2.空间几何可视化图

(1) 在已知图中建立直角坐标系xOy。绘制直观图时，分别对应x轴和y轴。两轴相交于点O，使得xOy=45，它们确定的平面代表水平面；

(2)已知图中平行于x轴或y轴的线段在可视图中分别绘制为平行于x'轴和y'轴的线段；

(3)已知图中平行于x轴的线段在可视图中保持原始长度不变；平行于y 轴的线段具有原始长度。

3.空间几何三视图

空间几何的三视图是通过正投影获得的。在这种投影下，平行于投影面的平面图形所留下的阴影与平面图形的形状和大小完全相同。三视图包括前视图、左视图和俯视图。

4.圆柱体、圆锥体、圆锥体和球体的表面积和体积

名称几何

表面积

体积

圆柱体（棱镜和圆柱体）

S表面积=S边+2S底

圆锥体（金字塔和圆锥体）

S表面积=S边+S底

锥体（棱锥体和圆锥体）

S表面积=S边+S顶+S底

V=(S向上+S向下+)h

球

1判断下列结论是否正确（请在括号内打“”或“”）

(1) 两个面平行且其他面均为平行四边形的几何体是棱柱。（）

(2)一个面为多边形、其余各面均为三角形的几何体是棱锥体。（）

(3)用斜二分法画水平放置的A时，若A的两条边分别平行于x轴和y轴，且A=90，则在可视图中， A=45。（）

(4)立方体、球体、圆锥体的三视图中，三视图都是相同的。（）

(5)圆柱体的侧面展开图为长方形。 ()

(6) 平台的体积可以通过将其转换为两个圆锥体的体积之差来计算。 ()

2.（2013·四川）几何体的三视图如图所示，那么几何体的直观图可以是（）

答案D

分析：从三视图可以看出，上部是圆锥体，下部是圆柱体。选择D。

3.（2013·国家课程标准）

如图所示，有一个水平放置的透明立方体容器，没有盖子。

容器的高度为8厘米。将一个球放在容器口处，然后将容器装满水。当球体恰好位于

接触水时测得的水深为6厘米。如果不考虑容器的厚度，球的体积为

答案A

分析

画出球轴截面的图像，如图所示。根据题意，BE=2，AE=CE=4，

假设DE=x，那么AD=2+x，因为AD2=AE2+DE2，解为x=3，所以球的

半径AD=5，

所以V=R3=。

4、三角形在其视觉图中对应边长为1的等边三角形，原三角形的面积为________。

回答

分析：从斜测量法我们知道，直观图是一个边长为1的等边三角形，原图是一个底为1、高为的三角形，所以原三角形的面积是。

5、如果圆锥的侧扩是面积为2的半圆，则圆锥的体积为________。

答案

分析：边展开图中扇形的半径为2，圆锥底面的半径为1。

题型一：空间几何的结构特征

实施例1

（一）下列说法正确的是（）

A. 两个平面相互平行且所有其他面均为平行四边形的多面体是棱柱。

B、四棱锥的四个边都可以是直角三角形

C. 两个平面相互平行且所有其他面均为梯形的多面体是棱柱。

D棱柱的边在延伸后不一定相交于一点

(2) 提出如下命题：

在圆柱体上下底面圆周上取一点，则连接这两点的连线就是圆柱体的母线；

一个面为多边形，其余各面为三角形的几何体是棱锥体；

将直角三角形绕其任意一条边所在的直线旋转所形成的几何形状是圆锥体；

棱柱的上下底边可以不相似，但侧边的长度必须相等。

正确命题的个数是（）

思维启示：从多面体和旋转体的定义出发，可以通过实例或几何模型来理解几何体的结构特征。

答案(1)B (2)A

分析（1）A错误，如图1； B是正确的，如图2所示，其中底ABCD是一个矩形，可以证明PAB和PCB是直角，因此四个边都是直角三角形； C错误，如图3；D错误。根据棱柱的定义，它的侧边必须相交于同一点。

(2) 不一定，只有连接这两点的线与轴线平行时才是总线；不一定，因为“所有其他面都是三角形”并不等于“所有其他面都有一个公共顶点”“三角形”，如图1所示；不一定。当以斜边所在直线为旋转轴时，其他两条边旋转形成的曲面所围成的几何形状不是圆锥体。如图2所示，它是由两个同底圆锥组成的Geometry；错误，棱柱的上下底边是对应边平行的相似多边形。每条侧边的延长线相交于一点，但侧边的长度不一定相等。

思维升华(1)两个面相互平行且其他面均为平行四边形的几何体不一定是棱柱。（2）由于棱柱是由金字塔来定义的，所以在求解棱柱问题时，要注意“将金字塔还原为圆锥体”的解题策略。 (3)旋转体的形成不仅取决于旋转的图形是什么样的，而且还取决于旋转轴在哪一条直线上。

图为无盖立方体盒子A、B、C的展开平面图。

是展开图上的三个点，那么在立方体框中，ABC的值为()

答案C

分析

还原立方体，如图所示，连接AB、BC、AC，可得ABC为正三

有角形状，则ABC=60。

题型2：空间几何的三视图及直观图

实施例2

（1）如图所示，某个几何体的正视图和左视图都是边长为1的正方形，体积为，则该几何体

本体俯视图可为()

等边三角形AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则

其直观图的面积为________。

思想启示（一）从前视图和左视图可知，几何体的高度为1，体积为

即可求出底面积。底部区域的大小可用于确定它是哪个俯视图。

(2)根据直观作图法的规则，确定平面图形与其直观作图面积的关系。

答案(1)C (2)a2

分析（1）从几何体的主视图和左视图可以知道，该几何体是一个圆柱体，其高度为1。从其体积，我们可以知道该几何体的底面积为。从图中我们知道A的面积为1，B的面积为1。对，C的面积为，D的面积为，所以选C。

画出坐标系xOy，做出OAB OAB的直观图（如

图片）。 D是OA的中点。

易知DB=DB，

思维的升华（1）三视图中，前视图与左视图一样高，前视图与俯视图一样长，左视图与俯视图一样宽。即“长度对齐、宽度相等、高度均匀”。

（2）解决“斜二次法”相关问题时，一般在已知图形中建立直角坐标系，尽量以图形中原来垂直的直线或图形的对称轴为坐标轴，以图形的对称中心为原点。注意两图中关键线段长度的关系。

(1)(2013·湖南)已知边长为1的正方体俯视图是面积为1的正方形，那么正方体正视图的面积不能等于( ）

如图所示，矩形O'A'B'C'是平面图形水平放置的直观图。

其中，OA=6 cm，OC=2 cm，则原图为（）

A、方形

B、长方形

C、钻石

D一般平行四边形

答案(1)C (2)C

分析：（1）从俯视图可知，正方体的底面水平放置，其正视图是一个长方形。立方体的高度是一侧的长度，另一侧的长度最小为1，最大为1。面积范围应为[1,]，不能等于。

(2) 如图所示，在原图OABC中，

应有OD=2OD=22

因此，四边形OABC是菱形。

题型三：空间几何的表面积和体积

实施例3

（1）一个空间几何的三视图如图所示，则该几何的表面积为（）

(2)已知某几何体的三视图如图所示。前视图和左视图由直角三角形和半圆组成，俯视图由圆形和内接三角形组成。根据图中数据，可求出几何体的体积为（）

思想启示：首先从三视图确定几何体的构成和尺寸，然后求表面积或体积。

答案(1)C (2)C

分析(1)

从三视图来看，直观的几何图如图所示。几何体的底面

它是一个边长为4的正方形；上底是长4宽2的长方形；梯形的两个边

垂直于底面，上底长为2，下底长为4，高为4；另外两条边都是长方形，

宽度为4，长度为=。

所以S表=42+24+(2+4)42+42=48+8。

(2)从三视图确定几何形状为半球体和三棱锥体的组合。

如图所示，AP、AB、AC相互垂直，AP=AB=AC=1，

因此，AP平面ABC，

因此，三棱锥P-ABC的体积为V1=SABCAP=1=，

且RtABC为半球底边的内接三角形，

所以球的直径2R=BC=，

求解得到R=,

因此，半球的体积V2=()3=，

因此，所需几何体的体积为V=V1+V2=+。

思维的升华解决这类问题，首先需要从三视图判断几何体的结构特征，判断它是否是组合，它是由什么简单的几何体组成，并准确判断这些几何体之间的关系，切把它分解成一些简单的几何体，然后求出每个简单几何体的体积，最后求出组合的体积。

（2012·课程标准国家）已知三棱锥S-ABC所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的等边三角形，SC是球O的直径，且SC=2，则该金字塔的体积为()

答案A

分析：由于三棱锥S-ABC和三棱锥O-ABC的底都是ABC，O是SC的中点，所以三棱锥S-ABC的高是三棱锥O高的两倍-ABC。

因此，三棱锥S-ABC的体积也是三棱锥O-ABC体积的两倍。

三棱锥O-ABC中，边长均为1，如图，

高OD==,

变换思想在立体几何计算中的应用

典型例子：（12分）

如图所示，右棱柱ABC-ABC，底边等长，边长为3。

边三角形，AA=4，M为AA的中点，P为BC上的一点，沿P

从棱镜的侧面经边CC到M的最短路径的长度为，假设这条最短路径为

CC的交点为N。求：

(1)三棱柱侧面展开图的对角线长度；

(2)PC和NC的长度；

(3)三角锥C——MNP的体积。

思想启示：（1）边展开图在哪里剪平；

（2）展开图上MN+NP的最短形式是什么；

(3) 三棱锥的底是谁做的？

标准答案

解： (1) 该三棱柱的边展开图是一个边长分别为4和9的矩形，所以对角线长度为=。 [2分]

(2) 将三棱柱的边沿BB展开，如下图所示，假设PC=x，则MP2=MA2+(AC+x)2。

x=2，即PC=2。

又NCAM，所以=，即=。

NC. [8分]

在三棱锥M-PCN中，M到表面PCN的距离，

即h3。

==。 [12分]

温馨提示：（1）解决空间几何表面上的极大值问题的根本思想是“展开”，即将空间几何的“表面”展开，铺在一个平面上，将问题转换转化为平面上的最大值问题。

（2）如果已知的空间几何是多面体，那么根据问题的具体情况，可以将多面体沿着多面体的一条边或者两个面的交点展开，而不在一个平面上的问题可以被变换成一架飞机。

如果是圆柱体或圆锥体，可以沿母线展开，将曲面上的问题转化为平面上的问题。

（3）这道题常见的错误是不知道要裁切哪条边并压平，无法正确画出边展开图。缺乏空间图形向平面图形转变的认识。

方法与技术

1对于棱柱和棱锥体，我们需要了解各个部分的结构特点，而计算问题往往转化为三角形来解决。

2、旋转体必须掌握“旋转”的特点，明确底面、侧面和展开图的形状。

3、三视图绘制方法：

（1）实线和虚线的绘制方法：分割线和可见轮廓线使用实线，不可见轮廓线使用虚线；

(2)理解“长对齐、宽相等、高相等”。

4.直观的绘图方法：两个要素：平行度和长度。

5、求几何体的体积，要注意除法和补法。通过分割或补充形状将不规则几何形状转换为规则形状

几何解。

6、与球有关的组合问题，一个是内球，一个是外球。解题时，必须仔细分析图形，明确切点和接缝的位置，确定相关元素之间的数量关系，并绘制适当的剖面图。例如，如果一个球内接于一个立方体，则切点是立方体每个面的中心，立方体的边的长度等于球的直径；球体外接于立方体，立方体的顶点都在球体上，立方体的对角线长度等于球体的直径。

错误及注意事项

1平台体可以看作是从圆锥体切下来的，但必须强调的是，横截面与底面平行。

2、注意空间几何的不同放置对三视图的影响。

3、遇到几何展开和折叠问题时，一定要把握前后两个图形的联系，找出它们之间的数量关系。

A组：专项基础训练

（时间：40分钟）

1.多项选择题

1在五棱柱中，连接不在任何边且不在任何底上的两个顶点的线称为它的对角线。则五棱柱的对角线数为()

答案D

分析

如图所示，在五棱柱ABCDE-A1B1C1D1E1中，从顶点A开始的对角

有两条线：AC1 和AD1。同样，有两条从B、C、D、E 点出发的对角线。

总计25=10（条）。

2. (2012·福建)如果一个几何体的三视图形状相同、大小相等，则该几何体

什么身体不能（）

A. 球B.三角锥

C. 立方体D. 圆柱体

答案D

分析：考虑选项中几何体三视图的形状和大小，即可得到分析。

球和立方体的三视图形状相同、大小相等。首先，排除选项A和C。

对于如图所示的三棱锥O-ABC，

当OA、OB、OC垂直且OA=OB=OC时，

三个视图形状相同、大小相等，故排除B选项。

无论圆柱体如何设置，其形状在三视图中都不会完全相同。

因此答案为D。

3.（2013·重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）

答案C

分析：从三视图可知，几何形状是直四棱柱，底面是等腰梯形。上底长为2，下底长为8，高为4，因此面积S==20。棱柱的高度为10。所以体积V=Sh=2010=200。

4、如果图片显示了一个物体的三个视图，那么这三个视图所描述的物体的直观视图是（）

答案D

分析：从俯视图可以看出是B和D之一，从正视图和左视图可以看出B是错误的。

5、某几何体的三视图如图所示。俯视图是半圆形，则几何体的表面积为（）

答案C

分析：从三视图可以看出，几何形状为半圆锥体，底半径为1，高为，表面积S21212 。

2. 填空

如图所示，E和F分别是立方体ABCD-A1B1C1D1的面ADD1A1和面。

BCC1B1的中心，则四边形BFD1E在立方体的面DCC1D1上的投影

影子是________。 (填写序列号)

答案

分析：四边形在DCC1D1 曲面上的投影为：B 在DCC1D1 曲面上的投影为C。F 和E 在DCC1D1 曲面上的投影应该在CC1 和DD1 边上，而不是在四边形内部，所以是错误的。

7、已知三棱锥A-BCD所有边的长度为，则三棱锥外接球的表面积为________。

答案3

分析

如图所示，构建立方体ANDM-FBEC。因为所有三棱锥A-BCD

边长都是，所以立方体ANDM-FBEC 的边长是1。所以立方体的

外接球的半径为。

容易知道，三棱锥A-BCD的外球就是立方体ANDM-FBEC的外球。

因此，三棱锥A-BCD的外接球半径为。因此，三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球面。

8 (2013·江苏) 如图所示，三棱柱A1B1C1-ABC中，D、E、F分别为AB、AC、AA1的中点。设三棱锥F-ADE的体积为V1，三棱柱的体积为A1B1C1-ABC。是V2，则V1:V2=________。

回答1:24

分析：设三棱锥F-ADE的高度为h，

那么=

3.回答问题

9、几何体的三视图及其相关数据如图所示。求这个几何体的表面积。

解：该几何形状是由轴向截面切割的半个圆锥体。

根据图中数据可以看出，圆锥体上底面半径为1，下底面半径为2，高度为，总线长度为2。几何面积是两个半圆的面积、圆锥的一半边面积、轴截面的面积之和。因此，这个几何体的表面积为S=12+22+(1+2)2+(2+4)=+3。

10众所周知，三棱柱的上下底边都是等边三角形，两底边中心的连线垂直于底边。两个底边的边长分别为30厘米和20厘米，其边面积等于两个底边面积之和。求棱镜的高度。

解：如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，O和O1分别是两个底边的中心。

D、D1分别为BC、B1C1的中点，则DD1为棱镜的斜高。

由题可知A1B1=20，AB=30，

那么OD=5，O1D1=，

从S 边=S 顶部+ S 底部，我们得到

求解得到DD1=,

在直角梯形O1ODD1中，

所以棱镜的高度是4厘米。

B组：特殊能力提升

（时间：30分钟）

1在四棱锥E-ABCD中，底ABCD是梯形，ABCD，2AB=3CD，M是AE的中点，假设E-ABCD的体积为V，则三棱锥的体积M -EBC 是()

答案D

分析：设B点到EMC平面的距离为h1，D点到EMC平面的距离为h2。

连接MD。

由于M 是AE 的中点，

所以VM-ABCD=V。

所以VE-MBC=V-VE-MDC。

并且VE-MBC=VB-EMC，VE-MDC=VD-EMC，

所以==。

因为B、D到平面EMC的距离就是到平面EAC的距离，且ABCD，且2AB=3CD，

所以=。

所以VE-MBC=VM-EBC=V。

2、已知四棱锥P-ABCD的三视图如下图所示，则四棱锥P-ABCD的四个边中最大的面积为()

答案C

分析：因为三视图恢复的几何体是四棱锥，所以顶点在底面的投影就是底面矩形长边的中点。底边的边长分别为4和2。下面是一个腰部为3的等腰三角形，所以下面的三角形的高度为=，所以后面三角形的面积为4=2，两个侧面的面积为2 3=3，后面三角形的面积为4=6，四棱锥四边面积P-ABCD最大的是前面三角形的面积：6。因此，选择C。

3、表面积为3的圆锥体，其边扩为半圆，则圆锥体底面直径为________。

答案2

分析：设圆锥的母线为l，圆锥的底面半径为r。那么l2 + r2=3，l=2r，r=1，即圆锥底面直径为2。

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底边是正方形，PC垂直于底边ABCD，

图为四棱锥的主视图和左视图。它们是全等的等腰形，腰长为6 厘米。

角三角形。

（1）根据图中所示的前视图和左视图，画出相应的俯视图，并求出俯视图的面积；

(2) 请求PA。

解开

（1）四棱锥的俯视图是（包括对角线），边长为6厘米的正方形，如图所示，

其面积为36平方厘米。

(2) 从左视图可以得到PD===6。

从主视图可以看出AD=6，且ADPD，

所以在RtAPD中，

5、已知圆锥体的底半径为R，高为H，其内部有一个高度为x的内接圆柱体。

(1)求圆柱体的边面积；

（2）x取什么值时，圆柱体的边面积最大？

解决方案（1）

画出圆锥体的轴向剖面，如图所示。

因为=，所以r=R-x，

所以S圆柱边=2rx

(2) 因为-0，

所以当x==时，S的圆柱边最大。

因此，当x=时，即圆柱体的高度为圆锥体高度的一半时，圆柱体的侧面积最大。

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