探寻数学奥秘：三位物理学家挑战传统观念，陶哲轩数学天才视角下的认知颠覆
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三人在邮件中解释道：
我们偶然发现了一个公式，如果正确的话，它将在线性代数中一些最基本和最重要的对象之间建立出意想不到的关系。
然而，陶哲轩的第一反应是：
这么短小简单的东西早就应该出现在教科书里了。这不可能是真的。
事实上，陶哲轩一直不喜欢这样被咨询，甚至在自己的主页上写下了警告：别拿你的稿子来烦我。
但让三位物理学家惊讶的是，仅仅两个小时后，他们就收到了陶哲轩的回复。
更没想到的是，一个半星期后，他们一起发表了一篇论文，解释了这个公式的证明过程。
什么样的配方如此受陶哲轩青睐？
求解特征向量。
没错，就是这个很常见的基本数学解题公式。
按照传统的解决方案：
计算特征多项式求解特征值求解齐次线性方程组得到特征向量。
在研究“中微子”的过程中，这三位物理学家意外地发现了另一个奇妙的解决方案：
知道了特征值，只需要制定一个简单的方程，就可以轻松求解特征向量。
三位物理学家。从左到右：张熙宁、彼得·丹顿和斯蒂芬·帕克。
正如陶哲轩所说：
这个公式看起来好得令人难以置信。
我从来没有想到子矩阵的特征值编码了原始矩阵特征向量的隐藏信息。
耶鲁大学数学家Van Vu用“惊人”和“有趣”来形容这一发现。
一位Hacker News网友甚至认为这个公式的理论价值比克莱姆定律还要高。
注：克莱姆定律是线性代数中的一个基本定理，它使用行列式来计算n个元素的线性方程组的解。
新方法从何而来？
我们先回顾一下我们熟悉的特征向量和特征值。
矩阵乘以向量相当于线性变换。但这个向量的方向经常改变。
但如果有一个矩阵A，让这个向量v经过线性变换后方向不变，但会被拉伸或压缩一定倍数，即：Av=v。
那么，这个向量v就是特征向量，就是特征值。
在现在的教科书中，求已知特征向量的特征值比较容易，但是求矩阵的特征值比求特征向量更方便。
但当三位物理学家计算中微子振荡的概率时，他们发现：
特征向量和特征值的几何本质实际上是空间向量的旋转和缩放。三种中微子（电子、子和子）不就相当于空间中三个向量之间的变换吗？
中微子振荡是一种量子力学现象。实验发现，电子中微子、子中微子和中微子这三种中微子可以相互转化，这就是中微子振荡现象。
来源：Quantamagazine
物理学家意识到特征向量和特征值之间可能存在更通用的规则。至此，新配方的面纱被揭开。
通过删除原始矩阵的行和列来创建子矩阵。
通过将子矩阵和原矩阵的特征值相结合，就可以计算出原矩阵的特征向量。
简而言之，知道特征值，就可以通过方程求出特征向量。
来源：Quantamagazine
这个新配方有多棒？
数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩评价道：
新公式的显着之处在于，在任何情况下，您都不需要知道矩阵中的任何元素来计算您想要的任何内容。
证明过程
在陶哲轩的回复中，他还附上了这个新公式的三种证明方法，后来又与三位物理学家Peter Denton、Stephen Parke、张西宁一起发表了论文。
首先将A 定义为n x n Hermitian 矩阵，其特征向量i(A) 和赋范特征向量vi。
埃尔米特矩阵可以将特征向量转换为实数，更适合解决现实问题。
特征向量中的每个元素都标记为vi,j。
删除第j行j列，即可得到A的子矩阵Mj，大小为(n-1)(n-1)，其特征值为k(Mj)。
首先，通过证明可以得到一个Cauchy-Binet型公式。
引理1.设A的特征值为0，不失一般性，设n(A)=0。那么对于任意大小为n x (n-1) 的矩阵B，我们可以得到：
接下来我们就可以继续推导新的公式了。
引理2.特征向量每个元素的平方范数与其特征值和子矩阵特征值有关。
因此可以证明：令j=1且i=n。将A 变换（移位） n(A)In 使得n(A)=0；这也变换了A 和Mj 中所有剩余的特征值，因此等式2 变为：
请注意，等式3 的右侧是det(M1)。
接下来，在B=(0,In-1) 中应用引理1。我们发现式1左边是，式1右边是det(M1)。
证明：对于任何不是A 特征值的，
对于，j[1,n]，有，
进一步化简取极限i(A)，
等式7 右侧的对角元素提供了等式2 的左半部分。根据共轭的定义，等式7 左侧的对角元素确定了i(A)In-A 的子矩阵。
应用引理2，必然的结论是，如果特征向量中的一个元素消失，vi,j=0，则矩阵A的特征向量方程将转化为其子矩阵Mj的特征向量方程。
这一发现的影响
简而言之，物理学家的这一最新成就将允许人们仅使用特征值信息来计算特征向量。
目前的教材中，使用特征向量求特征值更容易，但是求矩阵的特征值比求特征向量更方便。
换句话说，这个结果揭示了基础数学的新事实。
更重要的是，在现实世界中，无论是数学、物理还是工程学，很多问题都涉及到特征向量和特征值的计算。
例如，计算中微子振荡的概率。
例如，在机器学习领域，数据降维、人脸识别等都涉及到矩阵特征值/特征向量理论的实际应用。
俄亥俄州立大学粒子物理学家约翰·比科姆指出，这一理论具有广阔的应用前景，甚至可能打开新世界的大门。
物理学家和数学天才之间的合作
受三位物理学家邀请并证明新公式的数学家是陶哲轩，一位公认的数学天才。
陶哲轩
7岁进入高中，9岁进入大学，13岁获得国际数学奥林匹克金牌，是最年轻的IMO金、银、铜牌得主纪录保持者。
24岁时，他成为加州大学洛杉矶分校数学系终身教授。 31岁时，他获得了被誉为“数学界诺贝尔奖”的菲尔兹奖，成为第二位获此殊荣的华人数学家。
这三位物理学家中，一位是美国布鲁克海文国家实验室的助理物理学家彼得·B·丹顿（Peter B. Denton）。 2016年获得博士学位。来自范德比尔特大学物理系。
另一位是新西兰物理学家斯蒂芬·J·帕克。他是杰出科学家，美国费米国家加速器实验室理论物理系主任，主要研究领域为中微子物理和顶夸克物理。
最后一位作者张熙宁也是中国人。就读于芝加哥大学，从事理论粒子物理研究。他是斯蒂芬·帕克的弟子。
相关问答
答： 这篇文章讲述了些什么新的理论观念呢？
61 人赞同了该回答
答： 文章说了一些物理学家在研究中提出的新观点，这些观点挑战了数学家们长期以来认可的某些常理。比如，有一些物理实验的结果似乎与现有的数学模型无法完全相符，这就让一些数学天才开始怀疑数学模型本身是否存在缺陷，需要进行重新构建或许才能更好地解释现实世界。
225 人赞同了该回答
答： 这篇文章会不会引起数学领域的一些争论呢？
163 人赞同了该回答
答： 文章提到这位数学天才对现状有什么样的看法啊？
133 人赞同了该回答
答： 文中提到的数学天才陶哲轩似乎对于这些物理实验带来的冲击感到意外和困惑，他表示自己开始“压根不相信”一些曾经被普遍接受的数学常识。这表明他对数学领域的理论体系产生了质疑，并且需要更多的时间和研究去重新审视和理解这些新提出的观点。
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答： 这个观点对数学界的意义是什么呢？
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